Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 ° . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (N).
Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một hình nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 ° . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (N) và hình nón (T).
A. V T V N = 2 6
B. V T V N = 2 3
C. V T V N = 3 2
D. Đáp án khác
Đáp án A.
Gọi R là bán kính của hình cầu (S). Bài toán có thể quy về: “Cho đường tròn tâm O, bán kính R ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp ∆ S E F đều” (hình vẽ).
Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên
A B = B D = 2 R = A B 2 ⇔ A B = 2 R .
⇒ Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T) lần lượt là r = A B 2 = 2 R 2 và h = A B = 2 R .
Thể tích khối trụ là V T = πr 2 h = π . 2 R 2 2 . 2 R = π 2 R 3 2 .
Ta có ∆ S E F đều và ngoại tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm của Δ S E F .
Gọi H là trung điểm của EF thì S H = 3 O H = 3 R ⇒ H F = S H . tan 30 ° = R 3
⇒ Bán kính đáy và chiều cao của hình nón (N) lần lượt là H F = R 3 và S H = 3 R . Thể tích khối nón là V N = 1 3 π . HF 2 . SH = 1 3 π R 3 2 . 3 R = 3 πR 3 .
Vậy V T V N = π 2 R 3 2 3 πR 3 = 2 6 .
Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một hình nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 0 . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (T) .
A . V T V N = 2 6
B . V T V N = 2 3
C . V T V N = 3 2
D. Đáp án khác
Đáp án A.
Gọi R là bán kính của hình cầu (S). Bài toán có thể quy về: “Cho đường tròn tâm O, bán kính R ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp ∆ SEF đều” (hình vẽ).
=>Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T) lần lượt là
và 
Thể tích khối trụ là
Ta có ∆ SEF đều và ngoại tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm của ∆ SEF.
Gọi H là trung điểm của EF thì
Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên SH = 3OH = 3R
Bán kính đáy và chiều cao của hình nón (N) lần lượt là 
Thể tích khối nón là
Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một hình nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 ° . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (N) và hình nón (T).
A. V T V N = 2 6
B. V T V N = 2 3
C. V T V N = 3 2
D. Đáp án khác
Một khối trụ tròn có thể tích là V, các đường tròn đáy có tâm là O 1 , O 2 (hình vẽ). Xét hình nón N 1 đỉnh O 1 , đáy là đường tròn đáy tâm O 2 của hình trụ, hình nón N 2 đỉnh O 2 , đáy là đường tròn đáy tâm O 1 của hình trụ. Gọi V O là phần thể tích chung của N 1 , N 2 . Tính k = V O V
Một hình cầu nội tiếp trong một hình nón tròn xoay. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó và có đáy dưới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối trụ. Giá trị nhỏ nhất của của V 1 V 2 là
A . 1 3
B . 3 7
C . 4 3
D . 7 3
Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường tròn (C) tâm O và (C) tâm O’. Xét hình nón tròn xoay có đỉnh O’ và đáy là đường tròn (C). Xét hai mệnh đề sau: (I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều O’AB thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB’A’. (II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB’A’ thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác O’AB vuông cân tại O’. Hãy chọn câu đúng.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ và đỉnh trùng với tâm đường tròn thứ hai của hình trụ. Độ dài đường sinh của hình nón là
A. a 5
B. a
C. 2a
D. 3a
Đáp án A
Phương pháp: Độ dài đường sinh của hình nón 
, trong đó r; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
Cách giải:
Cho hình trục có chiều cao h = a 5 bán kính đáy r = a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình tròn đáy. Một hình nón có đáy là một đáy của hình trụ, đỉnh S của hình nón là trung điểm của OO’. Tính diện tích toàn phần S t p của hình nón đã cho.
A. S t p = πa 2 6
B. S t p = 5 πa 2 2
C. S t p = πa 2 1 - 6
D. S t p = 3 πa 2 2
